У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €500 наприкінці кожного року протягом 13 років. Процентна ставка 3 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €500i = 3%n = 13
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 24 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €5002,4% / 12N = 288
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €18 000, €12 000, €19 000, €21 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €40 000 і приносить €22 000, €16 000, €9 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €50 000 і приносить €13 000, €20 500, €26 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 4 років і продається за €920. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,8. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,8D/E = 0,5T = 21%rf = 3%rm − rf = 6%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €16 за одиницю при змінних витратах €6 на одиницю. Постійні витрати — €25 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €5 000?
F = €25 000p = €16v = €6прибуток = €5 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €16 зі змінними витратами €12; товар B — за €30 зі змінними витратами €10. Вони продаються в сталій пропорції: 2 одиниць A на кожні 1 одиниць B. Постійні витрати €16 800 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €16, vA = €12pB = €30, vB = €10A : B = 2 : 1F = €16 800
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 5317 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,681)/0,03 = 10,63
Теперішня вартість
PV = 500·10,63 = €5 317,48
Відповідь
PV = €5 317,48
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 194471 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 18 000/1,08 = 16 666,67
CF2/(1 + 0,08)2 = 12 000/1,166 = 10 288,07
CF3/(1 + 0,08)3 = 19 000/1,26 = 15 082,81
CF4/(1 + 0,08)4 = 21 000/1,36 = 15 435,63
Додайте
NPV = €12 473,17
Відповідь
NPV = €12 473,17
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 5,475 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 000 − 22 000 = −9 000
ΔCF2 = 20 500 − 16 000 = 4 500
ΔCF3 = 26 000 − 9 000 = 17 000
IRR різниці
NPVΔ(5%) = 195,44
NPVΔ(6%) = −212,05
r* = 5,475%
Відповідь
r* = 5,475%
Перевірка: при 5,475% обидві NPV дорівнюють €2 910,30.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1117 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,0125, N = 10
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €233,64
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8832 = €883,18
Ціна
P = €1 116,82
Відповідь
P = €1 116,82
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 9,496 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(9%) = €935,21, P(10%) = €904,90
YTM = 9,496%
Відповідь
YTM = 9,496%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,591 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·11% + 0,4545·5%·(1 − 0,3) = 7,591%
Відповідь
WACC = 7,591%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9,696 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,8·(1 + 0,79·0,5) = 1,116
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,116·6% = 9,696%
Відповідь
re = 9,696%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.