У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 6 років.
PV = €1 0006% / 12n = 6
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €2 000 на початку кожного року протягом 20 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 20? Знайдіть FV.
A = €2 000i = 8%n = 20
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €17 000, €16 000, €23 000, €15 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €50 000 приносить €13 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €50 000CF = €13 500n = 6
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 5 років і продається за €1 045. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 5P = €1 045
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,9 має необхідну дохідність 9,4%. Безризикова ставка 4%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,9re = 9,4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 28%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1,2D/E = 0,25T = 28%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €30 000 на рік і змінні витрати €8 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €50 000 на рік і змінні витрати €4 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €30 000vA = €8FB = €50 000vB = €4
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €32 за одиницю, змінні витрати — €20 на одиницю, постійні — €60 000 на рік. Запланований продаж — 9 000 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €60 000p = €32v = €20план = 9 000
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 1432 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,08)20 − 1)/0,08 = 45,76
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 2 000·45,76·1,08 = €98 845,84
Відповідь
FV = €98 845,84
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −3797 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 17 000/1,1 = 15 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 16 000/1,21 = 13 223,14
CF3/(1 + 0,1)3 = 23 000/1,331 = 17 280,24
CF4/(1 + 0,1)4 = 15 000/1,464 = 10 245,20
Додайте
NPV = €−3 796,87
Відповідь
NPV = €−3 796,87
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,81 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−6)/i = 50 000/13 500 = 3,704
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 15%: 3,784
i = 16%: 3,685
IRR = 15,81%
Відповідь
IRR = 15,81%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 848,3 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,035, N = 22
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €379,18
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,4692 = €469,15
Ціна
P = €848,33
Відповідь
P = €848,33
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,962 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 045 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 089,04, P(5%) = €1 043,29
YTM = 4,962%
Відповідь
YTM = 4,962%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 10 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (9,4% − 4%)/0,9 = 6%
Ринкова дохідність
rm = 4% + 6% = 10%
Відповідь
rm = 10%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12,5 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,25) = 1,416
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 1,416·6% = 12,5%
Відповідь
re = 12,5%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 5000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
30 000 + 8Q = 50 000 + 4Q
Знайдіть Q
Q = (50 000 − 30 000)/(8 − 4) = 5 000
Відповідь
Q = 5 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 44,44 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).