У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €6 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 4 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €6 000g = 1%r = 4%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €750. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €7504,8% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €28 000, €20 000, €25 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 000, €12 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 8%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 10 років і продається за €900. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 10P = €900
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,4 має необхідну дохідність 10,6%. Безризикова ставка 1,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,4re = 10,6%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 5 000 000 акцій по €8,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 11%. Знайдіть WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 11%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €20 000 на рік і змінні витрати €18 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €35 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €20 000vA = €18FB = €35 000vB = €12
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €13 зі змінними витратами €8; товар B — за €32 зі змінними витратами €20. Вони продаються в сталій пропорції: 5 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €19 600 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €13, vA = €8pB = €32, vB = €20A : B = 5 : 2F = €19 600
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 200000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,004/750 = 0,8667
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85
Округлення вгору до повних платежів
Після 35 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 36
Відповідь
N = 36 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 2919 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 28 000/1,08 = 25 925,93
CF2/(1 + 0,08)2 = 20 000/1,166 = 17 146,78
CF3/(1 + 0,08)3 = 25 000/1,26 = 19 845,81
Додайте
NPV = €2 918,51
Відповідь
NPV = €2 918,51
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 14,56 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 1 239,67
NPV(15%) = −113,42
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,04, N = 8
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €67,33
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7307 = €730,69
Ціна
P = €798,02
Відповідь
P = €798,02
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 8,526 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€900 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(8%) = €932,90, P(9%) = €871,65
YTM = 8,526%
Відповідь
YTM = 8,526%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (10,6% − 1,5%)/1,4 = 6,5%
Ринкова дохідність
rm = 1,5% + 6,5% = 8%
Відповідь
rm = 8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 13,97 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
20 000 + 18Q = 35 000 + 12Q
Знайдіть Q
Q = (35 000 − 20 000)/(18 − 12) = 2 500
Відповідь
Q = 2 500 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2800 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.