У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €1 000 наприкінці кожного року протягом 15 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 000i = 10%n = 15
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 23? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0003,6% / 12N = 360k = 276
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €15 000, €9 000, €15 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €15 000 і приносить €4 000, €6 000, €8 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 9 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5% до 4%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 4,5%n = 9y1 = 5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 8 років і продається за €1 140. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 8P = €1 140
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €40,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 9%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €17 зі змінними витратами €12 на одиницю. Постійні витрати €12 500 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 20 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €4 000 після сплати податку?
p = €17v = €12F = €12 500T = 20%прибуток після оподаткування = €4 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €65 за одиницю, змінні витрати — €45 на одиницю, постійні — €100 000 на рік. Запланований продаж — 7 500 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €100 000p = €65v = €45план = 7 500
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 7606 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2394)/0,1 = 7,606
Теперішня вартість
PV = 1 000·7,606 = €7 606,08
Відповідь
PV = €7 606,08
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 50571 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,003, N = 360
A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−360) = €681,97
Теперішня вартість решти платежів
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 360 − 276 = 84
B = 682·(1 − (1 + 0,003)−84)/0,003 = €50 570,66
Відповідь
B = €50 570,66
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 1244 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 15 000/1,12 = 13 392,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 9 000/1,254 = 7 174,74
CF3/(1 + 0,12)3 = 15 000/1,405 = 10 676,70
Додайте
NPV = €1 244,31
Відповідь
NPV = €1 244,31
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 5,567 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000
IRR різниці
NPVΔ(5%) = 92,32
NPVΔ(6%) = −69,08
r* = 5,567%
Відповідь
r* = 5,567%
Перевірка: при 5,567% обидві NPV дорівнюють €972,77.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 72,72 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 140,39, P(4%) = €1 067,33
YTM = 3,005%
Відповідь
YTM = 3,005%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,57 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 6,57%
Відповідь
WACC = 6,57%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,21 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 5 000 000·€40,00 = €200 000 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,5·6% = 12%
Ваги
V = €220 400 000, E/V = 0,9074, D/V = 0,09256
WACC
WACC = 0,9074·12% + 0,09256·5%·(1 − 0,3) = 11,21%
Відповідь
WACC = 11,21%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
4 000/(1 − 0,2) = €5 000
Потрібна кількість одиниць
Q = (12 500 + 5 000)/5 = 3 500
Відповідь
Q = 3 500 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 33,33 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).