У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 18%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 16? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0003,6% / 12N = 300k = 192
B = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €8 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €9 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 5%n = 9r = 10%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 4%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 4 років і продається за €945. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 4P = €945
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,75. Вартість власного капіталу 9%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,75re = 9%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,8. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,6. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,8D/E = 0,6T = 25,8%rf = 3%rm − rf = 4%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €9 зі змінними витратами €4 на одиницю. Постійні витрати €10 000 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 20 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €2 000 після сплати податку?
p = €9v = €4F = €10 000T = 20%прибуток після оподаткування = €2 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €17 зі змінними витратами €12; товар B — за €40 зі змінними витратами €30. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €28 000 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €17, vA = €12pB = €40, vB = €30A : B = 3 : 2F = €28 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 19,56 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,18/12 = 0,015
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,015)12 − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%
Відповідь
EAR = 19,56%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 69929 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,003, N = 300
A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−300) = €759,00
Теперішня вартість решти платежів
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 192 = 108
B = 759·(1 − (1 + 0,003)−108)/0,003 = €69 929,29
Відповідь
B = €69 929,29
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 4,934 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 8 000/1,1 = 7 272,73 → Σ = 7 272,73
рік 2: 8 000/1,21 = 6 611,57 → Σ = 13 884,30
рік 3: 8 000/1,331 = 6 010,52 → Σ = 19 894,82
рік 4: 8 000/1,464 = 5 464,11 → Σ = 25 358,92
рік 5: 8 000/1,611 = 4 967,37 → Σ = 30 326,29
Частка останнього року
DPB = 4 + 4 641,08/4 967,37 = 4,934
Відповідь
DPB = 4,934 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,75 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −18425 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,05)/(1,1))9 = 0,6579
PV = 9 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,6579) = 61 575,37
NPV
NPV = 61 575,37 − 80 000 = −€18 424,63
Відповідь
NPV = −€18 424,63
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1177 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,02, N = 22
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €529,74
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6468 = €646,84
Ціна
P = €1 176,58
Відповідь
P = €1 176,58
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,534 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(4%) = €963,70, P(5%) = €929,08
YTM = 4,534%
Відповідь
YTM = 4,534%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,836 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·9% + 0,4286·5%·(1 − 0,21) = 6,836%
Відповідь
WACC = 6,836%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,625 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,8·(1 + 0,742·0,6) = 1,156
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,156·4% = 7,625%
Відповідь
re = 7,625%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
2 000/(1 − 0,2) = €2 500
Потрібна кількість одиниць
Q = (10 000 + 2 500)/5 = 2 500
Відповідь
Q = 2 500 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 4000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.