У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €2 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €2 000i = 7%n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 17 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €5002,4% / 12N = 204
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €7 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €7 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 000, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 6 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 3 років і виплачує річні купони. Вона продається за €986, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 3P = €986YTM = 5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% двома піврічними платежами й погашається через 10 років. Вона продається за €728. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 4% (2×)n = 10P = €728
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Її WACC 6,53%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 2 000 000 акцій по €38,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 28%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 3,5%rm = 9%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €10 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €12 000 на рік і змінні витрати €10 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €10 000vA = €12FB = €12 000vB = €10
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €32 за одиницю, змінні витрати — €20 на одиницю, постійні — €9 600 на рік. Запланований продаж — 960 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €9 600p = €32v = €20план = 960
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 6774 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7629)/0,07 = 3,387
Теперішня вартість
PV = 2 000·3,387 = €6 774,42
Відповідь
PV = €6 774,42
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 125799 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 7 000/(0,08 − 0,02) = 116 666,67
NPV
NPV = 116 666,67 − 100 000 = €16 666,67
Відповідь
NPV = €16 666,67
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 16,02 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 132,33
NPV(20%) = −486,11
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 15 + 5·132,33/(132,33 − (−486,11)) = 16,07%
точно: NPV(16,02%) = 0 → IRR = 16,02%
Відповідь
IRR = 16,02%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 4,486 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,05)−3 = €863,84
Купон
C = (986 − 863,84)/2,723 = €44,86
Купонна ставка
c = 44,86/1000 = 4,486%
Відповідь
c = 4,486%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 8,003 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, N = 20
Чисельний розв’язок
i = 4,002% за півроку
YTM
YTM = 2·4,002% = 8,003%
Відповідь
YTM = 8,003%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,003 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Частка боргу у WACC
0,4·6%·(1 − 0,28) = 1,728%
Вартість власного капіталу
re = (6,53% − 1,728%)/0,6 = 8,003%
Відповідь
re = 8,003%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,874 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
10 000 + 12Q = 12 000 + 10Q
Знайдіть Q
Q = (12 000 − 10 000)/(12 − 10) = 1 000
Відповідь
Q = 1 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 16,67 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).