У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €20 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €20 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 5 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €12 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €40 000 і приносить €10 000, €18 000, €9 000, €15 500, €12 000 наприкінці років з 1 по 5. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €40 000 і приносить €21 000, €15 500, €9 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €45 000 і приносить €12 000, €17 500, €23 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 3,5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 7 років і продається за €950. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €24,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €30 000 на рік і змінні витрати €8 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €35 000 на рік і змінні витрати €3 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €30 000vA = €8FB = €35 000vB = €3
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 280 одиниць по €27 зі змінними витратами €12 на одиницю й постійними витратами €12 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 12 %?
Q = 1 280p = €27v = €12F = €12 000%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 500000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 12 000·0,002/(1 − 0,887) = €212,44
Відповідь
A = €212,44
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,717 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 10 000/1,08 = 9 259,26 → Σ = 9 259,26
рік 2: 18 000/1,166 = 15 432,10 → Σ = 24 691,36
рік 3: 9 000/1,26 = 7 144,49 → Σ = 31 835,85
рік 4: 15 500/1,36 = 11 392,96 → Σ = 43 228,81
Частка останнього року
DPB = 3 + 8 164,15/11 392,96 = 3,717
Відповідь
DPB = 3,717 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,194 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,668 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 000 − 21 000 = −9 000
ΔCF2 = 17 500 − 15 500 = 2 000
ΔCF3 = 23 000 − 9 500 = 13 500
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 196,72
NPVΔ(5%) = −95,56
r* = 4,668%
Відповідь
r* = 4,668%
Перевірка: при 4,668% обидві NPV дорівнюють €2 496,28.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 885 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,0175, N = 18
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €153,27
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7318 = €731,78
Ціна
P = €885,05
Відповідь
P = €885,05
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 8,993 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €949,67
YTM = 8,993%
Відповідь
YTM = 8,993%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,25 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
WACC
WACC = 0,9091·11% + 0,09091·4%·(1 − 0,3) = 10,25%
Відповідь
WACC = 10,25%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,978 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
30 000 + 8Q = 35 000 + 3Q
Знайдіть Q
Q = (35 000 − 30 000)/(8 − 3) = 1 000
Відповідь
Q = 1 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = 32 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.