У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €8 000i = 7%n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €100. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €1004,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €21 000, €17 000, €10 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €14 000, €11 000, €12 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 11 000CF3 = 12 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%), коли її дохідність до погашення становить 5,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 5y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 6 років і продається за €910. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 6P = €910
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,75. Вартість власного капіталу 13%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,75re = 13%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €39,00; балансова вартість її власного капіталу €117 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,10 на акцію, і дивіденди зростають на 2% на рік. Її борг має ринкову вартість €195 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Компанія продає 12 000 одиниць по €12. Змінні витрати €8 на одиницю, постійні витрати €16 000. Знайдіть ступінь операційного левериджу DOL за цього обсягу продажів.
Q = 12 000p = €12v = €8F = €16 000
DOL =
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €11 зі змінними витратами €5; товар B — за €30 зі змінними витратами €20. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €30 400 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €11, vA = €5pB = €30, vB = €20A : B = 3 : 2F = €30 400
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 27098 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7629)/0,07 = 3,387
Теперішня вартість
PV = 8 000·3,387 = €27 097,69
Відповідь
PV = €27 097,69
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 56 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,0035/100 = 0,825
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,825)/ln(1,004) = 55,06
Округлення вгору до повних платежів
Після 55 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 56
Відповідь
N = 56 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −1663 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 21 000/1,06 = 19 811,32
CF2/(1 + 0,06)2 = 17 000/1,124 = 15 129,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 10 000/1,191 = 8 396,19
Додайте
NPV = €−1 662,55
Відповідь
NPV = €−1 662,55
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 39,94 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 1 283,34
NPV(40%) = −14,58
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€910 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,007%
Відповідь
YTM = 9,007%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,337 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість власного капіталу
D1 = 2,1·1,02 = €2,14
re = 2,142/39 + 0,02 = 7,492%
Ринкові вартості
E = 5 000 000·€39,00 = €195 000 000
V = €390 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,492% + 0,5·3%·(1 − 0,258) = 4,859%
Відповідь
WACC = 4,859%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: DOL = 1,5
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.
Сумарний маржинальний дохід
CM = 12 000·(12 − 8) = €48 000
Операційний прибуток
Π = 48 000 − 16 000 = €32 000
DOL
DOL = 48 000/32 000 = 1,5
Відповідь
DOL = 1,5
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 4000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.