У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €500 наприкінці кожного року протягом 7 років. Процентна ставка 4 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €500i = 4%n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0003,6% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000. Він приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €7 500. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €30 000CF = €5 500S = €7 500n = 8r = 6%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €18 500, €24 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 18 500CF2 = 24 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 2,5%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 3 років і продається за €1 030. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €54,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 20%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 8%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €10 000 на рік і змінні витрати €15 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €11 600 на рік і змінні витрати €13 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €10 000vA = €15FB = €11 600vB = €13
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €28 за одиницю, змінні витрати — €18 на одиницю, постійні — €25 000 на рік. Запланований продаж — 3 000 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €25 000p = €28v = €18план = 3 000
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 3001 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7599)/0,04 = 6,002
Теперішня вартість
PV = 500·6,002 = €3 001,03
Відповідь
PV = €3 001,03
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 440,2 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8978
A = 15 000·0,003/(1 − 0,8978) = €440,20
Відповідь
A = €440,20
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 8859 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
5 500·6,21 = 34 153,87
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
7 500/1,594 = 4 705,59
NPV
NPV = −30 000 + 34 153,87 + 4 705,59 = €8 859,46
Відповідь
NPV = €8 859,46
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 3,963 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(0%) = 2 500,00
NPV(5%) = −612,24
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,0125, N = 14
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €510,82
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8404 = €840,37
Ціна
P = €1 351,19
Відповідь
P = €1 351,19
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 1,961 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 030 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(1%) = €1 058,82, P(2%) = €1 028,84
YTM = 1,961%
Відповідь
YTM = 1,961%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,185 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 6,185%
Відповідь
WACC = 6,185%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,108 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€54,50 = €218 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 0,6·7% = 5,2%
Ваги
V = €228 500 000, E/V = 0,954, D/V = 0,04595
WACC
WACC = 0,954·5,2% + 0,04595·4%·(1 − 0,2) = 5,108%
Відповідь
WACC = 5,108%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 800 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
10 000 + 15Q = 11 600 + 13Q
Знайдіть Q
Q = (11 600 − 10 000)/(15 − 13) = 800
Відповідь
Q = 800 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 16,67 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).