У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 18%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €23 000, €13 000, €12 000, €22 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 500, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €20 000 і приносить €5 000, €8 500, €10 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Ви купуєте облігацію з 8 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%), коли її дохідність до погашення становить 8%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 9,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 8y0 = 8%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 3,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 6%n = 3YTM = 3,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €8 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
У компанії 1 000 000 акцій по €36,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 7,5%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €23 за одиницю при змінних витратах €18 на одиницю. Постійні витрати — €7 500 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €2 000?
F = €7 500p = €23v = €18прибуток = €2 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €10 зі змінними витратами €5; товар B — за €38 зі змінними витратами €30. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €12 400 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €10, vA = €5pB = €38, vB = €30A : B = 3 : 2F = €12 400
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 19,56 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,18/12 = 0,015
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,015)12 − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%
Відповідь
EAR = 19,56%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 453,4 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 20 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €453,37
Відповідь
A = €453,37
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −1862 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 23 000/1,08 = 21 296,30
CF2/(1 + 0,08)2 = 13 000/1,166 = 11 145,40
CF3/(1 + 0,08)3 = 12 000/1,26 = 9 525,99
CF4/(1 + 0,08)4 = 22 000/1,36 = 16 170,66
Додайте
NPV = €−1 861,66
Відповідь
NPV = €−1 861,66
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 6,975 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −20 000 − (−10 000) = −10 000
ΔCF1 = 5 000 − 5 500 = −500
ΔCF2 = 8 500 − 4 000 = 4 500
ΔCF3 = 10 500 − 2 500 = 8 000
IRR різниці
NPVΔ(6%) = 250,24
NPVΔ(7%) = −6,43
r* = 6,975%
Відповідь
r* = 6,975%
Перевірка: при 6,975% обидві NPV дорівнюють €679,04.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 0,1917 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 60/1,035 = 57,97, t·PV = 57,97
t = 2: 60/1,071 = 56,01, t·PV = 112,02
t = 3: 1060/1,109 = 956,06, t·PV = 2 868,18
Дюрація
P = 1 070,04
D = 3 038,17/1 070,04 = 2,839
Відповідь
D = 2,839 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,019 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 1 000 000·€36,50 = €36 500 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 0,6·6,5% = 4,9%
Ваги
V = €41 500 000, E/V = 0,8795, D/V = 0,1205
WACC
WACC = 0,8795·4,9% + 0,1205·6%·(1 − 0,28) = 4,83%
Відповідь
WACC = 4,83%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 1900 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.