У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 25 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 25%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 24? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0007,2% / 12N = 360k = 288
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €15 000, €15 000, €20 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €18 000, €26 000, €17 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 18 000CF2 = 26 000CF3 = 17 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 9 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 4%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 9y0 = 4%y1 = 5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 20 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%) продається за €1 125. Емітент може достроково викупити її через 6 років за ціною викупу €1 060. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 6%P = €1 125ціна викупу = €1 060дострокове погашення через 6 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 7,3%. Безризикова ставка 4%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,6re = 7,3%rf = 4%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 1 000 000 акцій по €23,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 20%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €65 за одиницю при змінних витратах €45 на одиницю. Постійні витрати — €24 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €6 000?
F = €24 000p = €65v = €45прибуток = €6 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 8 000 одиниць по €65 зі змінними витратами €45 на одиницю й постійними витратами €80 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 20 %?
Q = 8 000p = €65v = €45F = €80 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 28,07 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,25/12 = 0,02083
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,02083)12 − 1 = 1,281 − 1 = 28,07%
Відповідь
EAR = 28,07%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 118772 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 360 − 288 = 72
B = 2036·(1 − (1 + 0,006)−72)/0,006 = €118 771,67
Відповідь
B = €118 771,67
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −3170 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 15 000/1,09 = 13 761,47
CF2/(1 + 0,09)2 = 15 000/1,188 = 12 625,20
CF3/(1 + 0,09)3 = 20 000/1,295 = 15 443,67
Додайте
NPV = €−3 169,66
Відповідь
NPV = €−3 169,66
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 24,57 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 2 893,52
NPV(25%) = −256,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1125 = 60·(1 − (1 + y)−6)/y + 1060/(1 + y)6
Чисельний розв’язок
y = 4%: €1 152,26
y = 5%: €1 095,53
YTC = 4,473%
Відповідь
YTC = 4,473%
Дохідність до погашення 4,997%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 9,5 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (7,3% − 4%)/0,6 = 5,5%
Ринкова дохідність
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Відповідь
rm = 9,5%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,805 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 1 000 000·€23,00 = €23 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 0,9·5% = 8%
Ваги
V = €32 800 000, E/V = 0,7012, D/V = 0,2988
WACC
WACC = 0,7012·8% + 0,2988·5%·(1 − 0,2) = 6,805%
Відповідь
WACC = 6,805%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 1500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.