У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 25 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 25%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 30 років. Ставка — 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €200 0006% / 12N = 360
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 9 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €50 000M = €5 000n = 9r = 5%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €25 500, €18 000, €19 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 18 000CF3 = 19 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 12 років і виплачує річні купони. Вона продається за €698, коли дохідність до погашення становить 5,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 12P = €698YTM = 5,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 5 років і продається за €1 040. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,3 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,2. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 28%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Товар продається за €38 за одиницю при змінних витратах €18 на одиницю. Постійні витрати — €30 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €20 000?
F = €30 000p = €38v = €18прибуток = €20 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 000 одиниць на місяць по €14 зі змінними витратами €8 на одиницю й постійними витратами €3 000 на місяць. Змінні витрати зростають на €1 на одиницю, а ціна не змінюється. Скільки одиниць Q тепер треба продавати на місяць, щоб зберегти той самий прибуток?
Q = 1 000p = €14v = €8 → €9F = €3 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 28,39 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,25/365 = 0,0006849
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0006849)365 − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%
Відповідь
EAR = 28,39%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1199 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·30 = 360
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,166
A = 200 000·0,005/(1 − 0,166) = €1 199,10
Відповідь
A = €1 199,10
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 12035 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,05−9)/0,05 = 7,108
Ціна придбання, перерахована на рік
50 000/7,108 = 7 034,50
EAC
EAC = 7 034,50 + 5 000 = €12 034,50
Відповідь
EAC = €12 034,50
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 28,38 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 1 904,00
NPV(30%) = −857,99
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,055)−12 = €525,98
Купон
C = (698 − 525,98)/8,619 = €19,96
Купонна ставка
c = 19,96/1000 = 1,996%
Відповідь
c = 1,996%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,049 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 042,12, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,049%
Відповідь
YTM = 6,049%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,635 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,3/(1 + 0,72·0,2) = 1,136
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,136·(1 + 0,72·1,5) = 2,364
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 2,364·4% = 13,45%
Відповідь
re = 13,45%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).