У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 3 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0004% / 12n = 3
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 5 років. Ставка — 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €19 500, €18 500, €21 000, €21 500 наприкінці років з 1 по 4. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Інвестиція €80 000 приносить €16 000 наприкінці кожного року протягом 10 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €80 000CF = €16 000n = 10
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 060 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 8,2 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 150 базисних пунктів.
P0 = €1 060y = 7%D = 8,2Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 21%, безризикова ставка 1%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Товар продається за €65 за одиницю при змінних витратах €45 на одиницю. Постійні витрати — €16 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €10 000?
F = €16 000p = €65v = €45прибуток = €10 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 200 одиниць на місяць по €27 зі змінними витратами €15 на одиницю й постійними витратами €9 600 на місяць. Змінні витрати зростають на €2 на одиницю, а ціна не змінюється. Скільки одиниць Q тепер треба продавати на місяць, щоб зберегти той самий прибуток?
Q = 1 200p = €27v = €15 → €17F = €9 600
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 17742 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·3 = 36
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,127 = €17 741,95
Відповідь
PV = €17 741,95
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 455,9 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 25 000·0,003/(1 − 0,8355) = €455,91
Відповідь
A = €455,91
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,944 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 19 500/1,12 = 17 410,71 → Σ = 17 410,71
рік 2: 18 500/1,254 = 14 748,09 → Σ = 32 158,80
рік 3: 21 000/1,405 = 14 947,39 → Σ = 47 106,19
рік 4: 21 500/1,574 = 13 663,64 → Σ = 60 769,82
Частка останнього року
DPB = 3 + 12 893,81/13 663,64 = 3,944
Відповідь
DPB = 3,944 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,047 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,1 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−10)/i = 80 000/16 000 = 5
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 15%: 5,019
i = 16%: 4,833
IRR = 15,1%
Відповідь
IRR = 15,1%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 964,1 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,025, N = 18
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,6412)/0,025 = €322,95
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6412 = €641,17
Ціна
P = €964,12
Відповідь
P = €964,12
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1182 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 8,2/1,07 = 7,664
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −7,664·(−0,015) = 11,5%
P ≈ 1060·(1 + 0,115) = €1 181,85
Відповідь
P = €1 181,85
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,9 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 8,9%
Відповідь
WACC = 8,9%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11,46 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,4/(1 + 0,79·0,25) = 1,169
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,169·(1 + 0,79·1) = 2,093
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 2,093·5% = 11,46%
Відповідь
re = 11,46%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 1300 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).