У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €8 000 під номінальну ставку 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 8 років.
PV = €8 0003,6% / 4n = 8
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €10 000 через 4 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €10 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €1 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €30 000M = €1 000n = 8r = 10%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 500, €14 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 14 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 13 років. Її дохідність до погашення змінюється з 2,5% до 3%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 3%n = 13y1 = 2,5%y2 = 3%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 4 років і продається за €1 075. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 4P = €1 075
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1,2D/E = 0,25T = 21%rf = 3%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €28 за одиницю при змінних витратах €20 на одиницю. Постійні витрати — €32 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €5 000?
F = €32 000p = €28v = €20прибуток = €5 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €28 за одиницю, змінні витрати — €25 на одиницю, постійні — €1 500 на рік. Запланований продаж — 900 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €1 500p = €28v = €25план = 900
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 10656 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,1−8)/0,1 = 5,335
Ціна придбання, перерахована на рік
30 000/5,335 = 5 623,32
EAC
EAC = 5 623,32 + 1 000 = €6 623,32
Відповідь
EAC = €6 623,32
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 17,61 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 803,40
NPV(20%) = −694,44
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 15 + 5·803,40/(803,40 − (−694,44)) = 17,68%
точно: NPV(17,61%) = 0 → IRR = 17,61%
Відповідь
IRR = 17,61%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −54,92 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 111,51, P(4%) = €1 072,60
YTM = 3,937%
Відповідь
YTM = 3,937%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,625 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·5%·(1 − 0,2) = 9,625%
Відповідь
WACC = 9,625%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9,466 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,79·0,25) = 1,437
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,437·4,5% = 9,466%
Відповідь
re = 9,466%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 4625 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).