У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €10 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €12 000 під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €525. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €12 000A = €5254,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €13 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €4 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €40 000CF = €13 500S = €4 000n = 3r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €50 000 і приносить €34 000, €27 500, €18 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 34 000CF2 = 27 500CF3 = 18 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 3,5%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €915 з дохідністю до погашення 4% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 11,1 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 25 базисних пунктів.
P0 = €915y = 4%D = 11,1Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 2 має необхідну дохідність 18%. Безризикова ставка 4%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 2re = 18%rf = 4%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 4 000 000 акцій по €43,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 11%. Знайдіть WACC.
β = 1,2rf = 4%rm = 11%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Компанія продає 1 280 одиниць по €18. Змінні витрати €12 на одиницю, постійні витрати €4 800. Знайдіть ступінь операційного левериджу DOL за цього обсягу продажів.
Q = 1 280p = €18v = €12F = €4 800
DOL =
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €10 зі змінними витратами €5; товар B — за €45 зі змінними витратами €25. Вони продаються в сталій пропорції: 2 одиниць A на кожні 3 одиниць B. Постійні витрати €28 000 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €10, vA = €5pB = €45, vB = €25A : B = 2 : 3F = €28 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 250000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0035/525 = 0,92
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,92)/ln(1,004) = 23,86
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −4728 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
13 500·2,402 = 32 424,72
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
4 000/1,405 = 2 847,12
NPV
NPV = −40 000 + 32 424,72 + 2 847,12 = −€4 728,16
Відповідь
NPV = −€4 728,16
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 31,33 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 846,61
NPV(35%) = −2 206,47
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,0175, N = 12
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €161,09
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8121 = €812,06
Ціна
P = €973,15
Відповідь
P = €973,15
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 939,4 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 11,1/1,04 = 10,67
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −10,67·(−0,0025) = 2,668%
P ≈ 915·(1 + 0,02668) = €939,41
Відповідь
P = €939,41
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 11 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (18% − 4%)/2 = 7%
Ринкова дохідність
rm = 4% + 7% = 11%
Відповідь
rm = 11%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,44 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.
Сумарний маржинальний дохід
CM = 1 280·(18 − 12) = €7 680
Операційний прибуток
Π = 7 680 − 4 800 = €2 880
DOL
DOL = 7 680/2 880 = 2,667
Відповідь
DOL = 2,667
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.