У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 9 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €5 0005% / 12n = 9
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 26 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2007,2% / 12N = 312
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 10 років, а його експлуатація коштує €4 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 10r = 6%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €12 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 2,5%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 4 років і продається за €965. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,4. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 3,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,4re = 11%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1D/E = 1T = 25,8%rf = 1,5%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €32 зі змінними витратами €20 на одиницю. Постійні витрати €30 000 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 25 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €9 000 після сплати податку?
p = €32v = €20F = €30 000T = 25%прибуток після оподаткування = €9 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 2 000 одиниць по €25 зі змінними витратами €15 на одиницю й постійними витратами €8 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 20 %?
Q = 2 000p = €25v = €15F = €8 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 3191 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·9 = 108
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,567 = €3 191,12
Відповідь
PV = €3 191,12
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 182167 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,06−10)/0,06 = 7,36
Ціна придбання, перерахована на рік
40 000/7,36 = 5 434,72
EAC
EAC = 5 434,72 + 4 000 = €9 434,72
Відповідь
EAC = €9 434,72
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 12,46 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 785,12
NPV(15%) = −765,60
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 10 + 5·785,12/(785,12 − (−765,60)) = 12,53%
точно: NPV(12,46%) = 0 → IRR = 12,46%
Відповідь
IRR = 12,46%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1095 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,0125, N = 8
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €189,20
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,9054 = €905,40
Ціна
P = €1 094,60
Відповідь
P = €1 094,60
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,963 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€965 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €963,70
YTM = 3,963%
Відповідь
YTM = 3,963%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,647 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1·(1 + 0,742·1) = 1,742
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 1,742·4,5% = 9,339%
Відповідь
re = 9,339%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
9 000/(1 − 0,25) = €12 000
Потрібна кількість одиниць
Q = (30 000 + 12 000)/12 = 3 500
Відповідь
Q = 3 500 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = 33,33 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.