У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 15 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 15%m = 4
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €12 000 під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €250. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €12 000A = €2505,4% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €20 000, €10 000, €10 000, €17 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €25 000 приносить €4 000 наприкінці кожного року протягом 8 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €25 000CF = €4 000n = 8
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 13 років і виплачує річні купони. Вона продається за €916, коли дохідність до погашення становить 7%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 13P = €916YTM = 7%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 3 років і продається за €960. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €46,00; балансова вартість її власного капіталу €110 400 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,30 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €92 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Товар продається за €17 за одиницю при змінних витратах €12 на одиницю. Постійні витрати — €2 500 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €2 000?
F = €2 500p = €17v = €12прибуток = €2 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €23 зі змінними витратами €15; товар B — за €40 зі змінними витратами €25. Вони продаються в сталій пропорції: 5 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €56 000 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €23, vA = €15pB = €40, vB = €25A : B = 5 : 2F = €56 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 15,87 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,15/4 = 0,0375
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0375)4 − 1 = 1,159 − 1 = 15,87%
Відповідь
EAR = 15,87%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 55 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0045/250 = 0,784
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,784)/ln(1,004) = 54,2
Округлення вгору до повних платежів
Після 54 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 55
Відповідь
N = 55 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −1249 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 20 000/1,12 = 17 857,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 10 000/1,405 = 7 117,80
CF4/(1 + 0,12)4 = 17 000/1,574 = 10 803,81
Додайте
NPV = €−1 249,31
Відповідь
NPV = €−1 249,31
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 5,837 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−8)/i = 25 000/4 000 = 6,25
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 5%: 6,463
i = 6%: 6,21
IRR = 5,837%
Відповідь
IRR = 5,837%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 5,995 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,07)−13 = €414,96
Купон
C = (916 − 414,96)/8,358 = €59,95
Купонна ставка
c = 59,95/1000 = 5,995%
Відповідь
c = 5,995%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,454 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€960 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(4%) = €972,25, P(5%) = €945,54
YTM = 4,454%
Відповідь
YTM = 4,454%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,537 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·14% + 0,375·3%·(1 − 0,3) = 9,537%
Відповідь
WACC = 9,537%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,883 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.