У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 22 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €300. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €3002,4% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €6 000, €5 000, €5 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €19 000, €29 500, €15 500, €19 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 12 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 10 років і продається за €1 120. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 10P = €1 120
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Її WACC 6,31%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 30%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 2 500 000 акцій по €25,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
β = 0,9rf = 3%rm = 9%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €25 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €29 000 на рік і змінні витрати €7 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €25 000vA = €12FB = €29 000vB = €7
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 4 000 одиниць по €40 зі змінними витратами €20 на одиницю й постійними витратами €40 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 5 %?
Q = 4 000p = €40v = €20F = €40 000%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 23,21 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,22/2 = 0,11
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Відповідь
EAR = 23,21%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 92 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,002/300 = 0,8333
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8333)/ln(1,002) = 91,25
Округлення вгору до повних платежів
Після 91 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 92
Відповідь
N = 92 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −6657 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 5 000/1,21 = 4 132,23
CF3/(1 + 0,1)3 = 5 000/1,331 = 3 756,57
Додайте
NPV = €−6 656,65
Відповідь
NPV = €−6 656,65
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 19,09 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
19 000·1,123 = 26 693,63
29 500·1,122 = 37 004,80
15 500·1,121 = 17 360,00
19 500·1,120 = 19 500,00
TV = 100 558,43
MIRR
MIRR = (100 558,43/50 000)1/4 − 1 = 19,09%
Відповідь
MIRR = 19,09%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1159 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, i = 0,0175, N = 10
Теперішня вартість купонів
€35,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €318,54
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8407 = €840,73
Ціна
P = €1 159,27
Відповідь
P = €1 159,27
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,485 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
Частка боргу у WACC
0,625·5%·(1 − 0,3) = 2,188%
Вартість власного капіталу
re = (6,31% − 2,188%)/0,375 = 10,99%
Відповідь
re = 10,99%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,667 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€25,50 = €63 750 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 0,9·6% = 8,4%
Ваги
V = €73 350 000, E/V = 0,8691, D/V = 0,1309
WACC
WACC = 0,8691·8,4% + 0,1309·4%·(1 − 0,3) = 7,667%
Відповідь
WACC = 7,667%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 800 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
25 000 + 12Q = 29 000 + 7Q
Знайдіть Q
Q = (29 000 − 25 000)/(12 − 7) = 800
Відповідь
Q = 800 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = 10 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.