У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €1 000 наприкінці кожного року протягом 11 років. Процентна ставка 8 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 000i = 8%n = 11
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 9? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0005,4% / 12N = 240k = 108
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €11 000, €12 000, €14 000, €10 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 000, €6 500, €7 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 500CF3 = 7 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 4 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 019, коли дохідність до погашення становить 2,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 4P = €1 019YTM = 2,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 3 років і продається за €1 055. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,9 має необхідну дохідність 4,6%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,9re = 4,6%rf = 1%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 500 000 акцій по €50,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 28%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 6%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €25 000 на рік і змінні витрати €20 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €28 000 на рік і змінні витрати €17 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €25 000vA = €20FB = €28 000vB = €17
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €9 за одиницю, змінні витрати — €4 на одиницю, постійні — €7 500 на рік. Запланований продаж — 2 700 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €7 500p = €9v = €4план = 2 700
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 7139 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4289)/0,08 = 7,139
Теперішня вартість
PV = 1 000·7,139 = €7 138,96
Відповідь
PV = €7 138,96
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 203379 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 108 = 132
B = 2047·(1 − (1 + 0,0045)−132)/0,0045 = €203 378,93
Відповідь
B = €203 378,93
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 8937 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 11 000/1,08 = 10 185,19
CF2/(1 + 0,08)2 = 12 000/1,166 = 10 288,07
CF3/(1 + 0,08)3 = 14 000/1,26 = 11 113,65
CF4/(1 + 0,08)4 = 10 000/1,36 = 7 350,30
Додайте
NPV = €8 937,20
Відповідь
NPV = €8 937,20
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 37,21 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 318,55
NPV(40%) = −379,01
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 35 + 5·318,55/(318,55 − (−379,01)) = 37,28%
точно: NPV(37,21%) = 0 → IRR = 37,21%
Відповідь
IRR = 37,21%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 3,005 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,025)−4 = €905,95
Купон
C = (1019 − 905,95)/3,762 = €30,05
Купонна ставка
c = 30,05/1000 = 3,005%
Відповідь
c = 3,005%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,054 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 055 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,054%
Відповідь
YTM = 3,054%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 5 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (4,6% − 1%)/0,9 = 4%
Ринкова дохідність
rm = 1% + 4% = 5%
Відповідь
rm = 5%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,022 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
25 000 + 20Q = 28 000 + 17Q
Знайдіть Q
Q = (28 000 − 25 000)/(20 − 17) = 1 000
Відповідь
Q = 1 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 44,44 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).