У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €12 000 під номінальну ставку 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.
PV = €12 0003,6% / 4n = 5
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €150 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 20 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €150 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €20 000, €16 000, €13 000, €19 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €27 500, €28 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 27 500CF2 = 28 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 6 років і продається за €880. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 6P = €880
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 5,4%. Безризикова ставка 1,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,6re = 5,4%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1,5. Ставка податку 20%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1D/E = 1,5T = 20%rf = 4%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €51 зі змінними витратами €45 на одиницю. Постійні витрати €9 000 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 25 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €4 500 після сплати податку?
p = €51v = €45F = €9 000T = 25%прибуток після оподаткування = €4 500
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €35 за одиницю, змінні витрати — €30 на одиницю, постійні — €5 000 на рік. Запланований продаж — 1 600 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €5 000p = €35v = €30план = 1 600
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 14355 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·20 = 240
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,3404
A = 150 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 023,38
Відповідь
A = €1 023,38
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 14073 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 20 000/1,06 = 18 867,92
CF2/(1 + 0,06)2 = 16 000/1,124 = 14 239,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 13 000/1,191 = 10 915,05
CF4/(1 + 0,06)4 = 19 000/1,262 = 15 049,78
Додайте
NPV = €14 072,70
Відповідь
NPV = €14 072,70
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 25,52 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 240,00
NPV(30%) = −1 982,25
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,015, N = 24
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €500,76
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6995 = €699,54
Ціна
P = €1 200,30
Відповідь
P = €1 200,30
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,477 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€880 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(6%) = €901,65, P(7%) = €857,00
YTM = 6,477%
Відповідь
YTM = 6,477%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (5,4% − 1,5%)/0,6 = 6,5%
Ринкова дохідність
rm = 1,5% + 6,5% = 8%
Відповідь
rm = 8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 18,3 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1·(1 + 0,8·1,5) = 2,2
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 2,2·6,5% = 18,3%
Відповідь
re = 18,3%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
4 500/(1 − 0,25) = €6 000
Потрібна кількість одиниць
Q = (9 000 + 6 000)/6 = 2 500
Відповідь
Q = 2 500 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 37,5 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).