У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 8,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 2,5%r = 8,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €10 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €450. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €10 000A = €4507,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €7 000 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €12 500. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €50 000CF = €7 000S = €12 500n = 8r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт A коштує €40 000 і приносить €22 500, €16 000, €9 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €50 000 і приносить €13 500, €19 000, €29 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 7 років і продається за €1 135. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 7P = €1 135
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
E = €3 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €56,50; балансова вартість її власного капіталу €84 800 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,90 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €84 800 000 і вартість до оподаткування 4%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Товар продається за €40 зі змінними витратами €25 на одиницю. Постійні витрати €22 500 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 25 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €9 000 після сплати податку?
p = €40v = €25F = €22 500T = 25%прибуток після оподаткування = €9 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €12 зі змінними витратами €8; товар B — за €18 зі змінними витратами €10. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 1 одиниць B. Постійні витрати €20 000 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €12, vA = €8pB = €18, vB = €10A : B = 3 : 1F = €20 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 133333 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,006/450 = 0,8667
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −10178 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 500 − 22 500 = −9 000
ΔCF2 = 19 000 − 16 000 = 3 000
ΔCF3 = 29 000 − 9 500 = 19 500
IRR різниці
NPVΔ(7%) = 126,91
NPVΔ(8%) = −281,59
r* = 7,306%
Відповідь
r* = 7,306%
Перевірка: при 7,306% обидві NPV дорівнюють €2 551,88.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 925 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,02, N = 18
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,7002)/0,02 = €224,88
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7002 = €700,16
Ціна
P = €925,04
Відповідь
P = €925,04
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 0,994 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 135 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(1%) = €1 134,56, P(1%) = €1 134,56
YTM = 0,994%
Відповідь
YTM = 0,994%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,469 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·8% + 0,625·5%·(1 − 0,21) = 5,469%
Відповідь
WACC = 5,469%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,291 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
9 000/(1 − 0,25) = €12 000
Потрібна кількість одиниць
Q = (22 500 + 12 000)/15 = 2 300
Відповідь
Q = 2 300 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 4000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.