У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €5 000. Очікується, що дохід зростатиме на 4 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 8 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €5 000g = 4%r = 8%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €50 000 через 7 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €50 0005,4% / 12N = 84
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €12 500 наприкінці кожного року протягом 4 років, а потім його можна продати за €7 500. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €50 000CF = €12 500S = €7 500n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €50 000 і приносить €25 500, €21 000, €37 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 25 500CF2 = 21 000CF3 = 37 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 15 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 5,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 4,5%n = 15y1 = 7%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 4 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 4P = €935
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €10 000 000, привілейованими акціями вартістю €2 000 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 14%, вартість привілейованого капіталу 7,5%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 1 000 000 акцій по €45,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 9%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €30 000 на рік і змінні витрати €8 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €45 000 на рік і змінні витрати €2 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €30 000vA = €8FB = €45 000vB = €2
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €17 за одиницю, змінні витрати — €12 на одиницю, постійні — €10 000 на рік. Запланований продаж — 2 600 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €10 000p = €17v = €12план = 2 600
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 125000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
12 500·3,465 = 43 313,82
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
7 500/1,262 = 5 940,70
NPV
NPV = −50 000 + 43 313,82 + 5 940,70 = −€745,48
Відповідь
NPV = −€745,48
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 28,5 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 2 784,00
NPV(30%) = −1 117,43
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(10%) = €936,60, P(11%) = €906,93
YTM = 10,05%
Відповідь
YTM = 10,05%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,53 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 1 000 000·€45,50 = €45 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 1,3·5% = 10,5%
Ваги
V = €87 500 000, E/V = 0,52, D/V = 0,48
WACC
WACC = 0,52·10,5% + 0,48·5%·(1 − 0,28) = 7,188%
Відповідь
WACC = 7,188%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2500 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
30 000 + 8Q = 45 000 + 2Q
Знайдіть Q
Q = (45 000 − 30 000)/(8 − 2) = 2 500
Відповідь
Q = 2 500 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 23,08 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).