У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €12 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €12 000g = 2,5%r = 5,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 5 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0003% / 12N = 60
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000, служить 4 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €30 000M = €3 000n = 4r = 12%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 500, €12 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 12 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 2,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 5y0 = 2,5%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 8 років і продається за €895. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €895
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Її WACC 5,76%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 2 500 000 акцій по €58,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 10,5%. Знайдіть WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €37 за одиницю при змінних витратах €25 на одиницю. Постійні витрати — €30 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €6 000?
F = €30 000p = €37v = €25прибуток = €6 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €29 за одиницю, змінні витрати — €25 на одиницю, постійні — €6 000 на рік. Запланований продаж — 2 250 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €6 000p = €29v = €25план = 2 250
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 400000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €269,53
Відповідь
A = €269,53
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 12877 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,12−4)/0,12 = 3,037
Ціна придбання, перерахована на рік
30 000/3,037 = 9 877,03
EAC
EAC = 9 877,03 + 3 000 = €12 877,03
Відповідь
EAC = €12 877,03
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 12,62 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 826,45
NPV(15%) = −708,88
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 10 + 5·826,45/(826,45 − (−708,88)) = 12,69%
точно: NPV(12,62%) = 0 → IRR = 12,62%
Відповідь
IRR = 12,62%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −0,99 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30
YTM = 9,966%
Відповідь
YTM = 9,966%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9,998 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
Частка боргу у WACC
0,5556·3%·(1 − 0,21) = 1,317%
Вартість власного капіталу
re = (5,76% − 1,317%)/0,4444 = 9,998%
Відповідь
re = 9,998%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,57 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).