У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 10 років.
PV = €1 0005% / 12n = 10
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €12 000 під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €275. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €12 000A = €2753% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €11 500 наприкінці кожного року протягом 4 років, а потім його можна продати за €6 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €40 000CF = €11 500S = €6 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €26 000, €25 500, €15 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 25 500CF3 = 15 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 3%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 2%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 5y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 8 років і продається за €865. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 8P = €865
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €4 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 14%, вартість привілейованого капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 6%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €37,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 5%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €11 за одиницю при змінних витратах €8 на одиницю. Постійні витрати — €15 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €6 000?
F = €15 000p = €11v = €8прибуток = €6 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €15 зі змінними витратами €10; товар B — за €28 зі змінними витратами €20. Вони продаються в сталій пропорції: 4 одиниць A на кожні 1 одиниць B. Постійні витрати €11 200 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €15, vA = €10pB = €28, vB = €20A : B = 4 : 1F = €11 200
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 1647 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0025/275 = 0,8909
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8909)/ln(1,002) = 46,26
Округлення вгору до повних платежів
Після 46 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 47
Відповідь
N = 47 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 4601 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
11 500·3,465 = 39 848,71
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
6 000/1,262 = 4 752,56
NPV
NPV = −40 000 + 39 848,71 + 4 752,56 = €4 601,28
Відповідь
NPV = €4 601,28
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 34,09 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 2 143,83
NPV(35%) = −449,12
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€865 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(9%) = €889,30, P(10%) = €839,95
YTM = 9,483%
Відповідь
YTM = 9,483%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,417 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.