У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 8 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0006% / 4n = 8
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €12 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €21 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 4 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €400 000CF1 = €21 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €25 000 приносить €7 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €25 000CF = €7 500n = 6
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 8 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 2,5%n = 8
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 17 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%) продається за €1 163. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 070. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 7%P = €1 163ціна викупу = €1 070дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €6 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 10%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 3%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €25 000 на рік і змінні витрати €10 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €27 400 на рік і змінні витрати €7 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €25 000vA = €10FB = €27 400vB = €7
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €9 зі змінними витратами €5; товар B — за €35 зі змінними витратами €15. Вони продаються в сталій пропорції: 4 одиниць A на кожні 1 одиниць B. Постійні витрати €21 600 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €9, vA = €5pB = €35, vB = €15A : B = 4 : 1F = €21 600
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 24840 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·8 = 32
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,61 = €24 839,72
Відповідь
PV = €24 839,72
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 262,4 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 12 000·0,002/(1 − 0,9086) = €262,44
Відповідь
A = €262,44
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 125000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 21 000/(0,08 − 0,04) = 525 000,00
NPV
NPV = 525 000,00 − 400 000 = €125 000,00
Відповідь
NPV = €125 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 19,91 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−6)/i = 25 000/7 500 = 3,333
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 19%: 3,41
i = 20%: 3,326
IRR = 19,91%
Відповідь
IRR = 19,91%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1036 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,0125, N = 16
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €216,30
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8197 = €819,75
Ціна
P = €1 036,05
Відповідь
P = €1 036,05
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 3,443 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1163 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Чисельний розв’язок
y = 3%: €1 177,20
y = 4%: €1 145,48
YTC = 3,443%
Відповідь
YTC = 3,443%
Дохідність до погашення 5,5%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,54 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1/(1 + 0,742·0,5) = 0,7294
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,7294·(1 + 0,742·1,5) = 1,541
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 1,541·4,5% = 8,435%
Відповідь
re = 8,435%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 800 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
25 000 + 10Q = 27 400 + 7Q
Знайдіть Q
Q = (27 400 − 25 000)/(10 − 7) = 800
Відповідь
Q = 800 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.