У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €1 500 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 500i = 6%n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €12 0004,8% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €25 000, €22 000, €35 000, €19 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €15 500, €15 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 15 500CF3 = 15 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 4 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%), коли її дохідність до погашення становить 9%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 9,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 4y0 = 9%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 9 років і продається за €1 110. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 9P = €1 110
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Її WACC 6,48%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 4 000 000 акцій по €37,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 7%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €16 за одиницю при змінних витратах €6 на одиницю. Постійні витрати — €12 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €12 000?
F = €12 000p = €16v = €6прибуток = €12 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €22 за одиницю, змінні витрати — €12 на одиницю, постійні — €8 000 на рік. Запланований продаж — 1 440 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €8 000p = €22v = €12план = 1 440
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 5198 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7921)/0,06 = 3,465
Теперішня вартість
PV = 1 500·3,465 = €5 197,66
Відповідь
PV = €5 197,66
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 275,3 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8256
A = 12 000·0,004/(1 − 0,8256) = €275,27
Відповідь
A = €275,27
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 14630 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 25 000/1,05 = 23 809,52
CF2/(1 + 0,05)2 = 22 000/1,103 = 19 954,65
CF3/(1 + 0,05)3 = 35 000/1,158 = 30 234,32
CF4/(1 + 0,05)4 = 19 000/1,216 = 15 631,35
Додайте
NPV = €14 629,84
Відповідь
NPV = €14 629,84
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 42,24 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(40%) = 699,71
NPV(45%) = −819,43
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 40 + 5·699,71/(699,71 − (−819,43)) = 42,3%
точно: NPV(42,24%) = 0 → IRR = 42,24%
Відповідь
IRR = 42,24%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 7,685 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 110 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 148,71, P(5%) = €1 071,08
YTM = 4,488%
Відповідь
YTM = 4,488%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9,01 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Частка боргу у WACC
0,5·5%·(1 − 0,21) = 1,975%
Вартість власного капіталу
re = (6,48% − 1,975%)/0,5 = 9,01%
Відповідь
re = 9,01%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,696 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).