У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 3 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 9 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €575. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €5753,6% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €15 000 наприкінці кожного року протягом 6 років, а потім його можна продати за €12 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF = €15 000S = €12 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €13 500, €9 000, €12 000, €8 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Ви купуєте облігацію з 12 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 4%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 3%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 12y0 = 4%y1 = 3%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 090 з дохідністю до погашення 6% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 5,5 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 100 базисних пунктів.
P0 = €1 090y = 6%D = 5,5Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,6. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,6. Ставка податку 30%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,6D/E = 0,6T = 30%rf = 2,5%rm − rf = 7%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €53 за одиницю при змінних витратах €45 на одиницю. Постійні витрати — €12 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €12 000?
F = €12 000p = €53v = €45прибуток = €12 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 280 одиниць по €24 зі змінними витратами €12 на одиницю й постійними витратами €9 600. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 5 %?
Q = 1 280p = €24v = €12F = €9 600%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 133333 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,003/575 = 0,8696
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8696)/ln(1,003) = 46,66
Округлення вгору до повних платежів
Після 46 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 47
Відповідь
N = 47 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −7897 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
15 000·4,355 = 65 328,91
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
12 000/1,772 = 6 773,69
NPV
NPV = −80 000 + 65 328,91 + 6 773,69 = −€7 897,40
Відповідь
NPV = −€7 897,40
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 19,25 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
13 500·1,13 = 17 968,50
9 000·1,12 = 10 890,00
12 000·1,11 = 13 200,00
8 500·1,10 = 8 500,00
TV = 50 558,50
MIRR
MIRR = (50 558,50/25 000)1/4 − 1 = 19,25%
Відповідь
MIRR = 19,25%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 12,91 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 5,5/1,06 = 5,189
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −5,189·(−0,01) = 5,189%
P ≈ 1090·(1 + 0,05189) = €1 146,56
Відповідь
P = €1 146,56
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·4%·(1 − 0,25) = 8%
Відповідь
WACC = 8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,464 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,6·(1 + 0,7·0,6) = 0,852
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 0,852·7% = 8,464%
Відповідь
re = 8,464%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.