Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  2. BЛогарифми завжди округлюють до цілих
  3. CУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  4. DОснова має значення лише для малих n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм Штрассена множить матриці, використовуючи 7 замість 8 рекурсивних множень блоків половинного розміру. Який його час виконання?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(nlog₂ 7), близько n2,81
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(n³)
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті використовує список суміжності для графа з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(E²)
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
  2. BЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
  3. CЩоб обрати початкову вершину
  4. DЩоб відсортувати ребра за вагою
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 20 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 20|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки замкнених маршрутів довжиною 3 починаються й закінчуються в D? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81

Чому це відповідь

За a = 7 і b = 2 nlog₂ 7 домінує над роботою додавання O(n²), що дає близько n2,81.

Відповідь

B · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81
3.Структури даних

Відповідь: A · O(V + E)

Чому це відповідь

Кожна вершина має список, а кожне ребро трапляється один раз (орієнтований граф) або двічі (неорієнтований), що дає O(V + E).

Відповідь

A · O(V + E)
4.Структури даних

Відповідь: B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

20 − 1 = 19

Ребра для вилучення

k = 22 − 19 = 3

Відповідь

k = 3
6.Теорія графів

Відповідь: N = 4

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ще один крок

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 3·0 + 2·1 + 1·1 = 4

Відповідь

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms