Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм сортування є стійким?

  1. AПірамідальне сортування
  2. BШвидке сортування (типова версія на місці)
  3. CСортування вибором (типова версія)
  4. DСортування злиттям
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як алгоритм Беллмана–Форда виявляє цикл від'ємної ваги, досяжний із джерела?

  1. AВін перевіряє, чи має якесь ребро від'ємну вагу
  2. BВін підраховує цикли пошуком у глибину
  3. CВін двічі запускає алгоритм Дейкстри й порівнює два результати відстаней
  4. DПісля V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D1 2 3 4 5
4.Структури данихСкладна

Якій властивості має відповідати червоно-чорне дерево?

  1. AКожен червоний вузол повинен мати червоних дітей, тож червоні вузли завжди утворюють неперервні ланцюги до листків
  2. BКожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів
  3. CКорінь має бути червоним
  4. DКожен вузол має бути червоним
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 34 × deg 4
L =
6.Теорія графівСкладна
132211141288ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 3; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Сортування злиттям

Чому це відповідь

Сортування злиттям стійке, якщо за рівних ключів під час злиття спочатку береться елемент із лівої половини. Швидке сортування на місці, пірамідальне сортування й сортування вибором зазвичай не є стійкими.

Відповідь

D · Сортування злиттям
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро

Чому це відповідь

Усі справжні найкоротші відстані знаходяться за V − 1 раундів; якщо якесь ребро ще можна поліпшити, від'ємний цикл має існувати.

Відповідь

D · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
3.Структури даних

Відповідь: C · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

C · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: B · Кожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів

Чому це відповідь

Правила червоно-чорного дерева: вузли червоні або чорні, корінь чорний, діти червоних вузлів чорні, а всі шляхи мають однакову чорну висоту, що утримує висоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Відповідь

B · Кожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 14

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Відповідь

L = 14

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 13, C: 2
2. C (2): B: 4, E: 13
3. B (4): E: 12
4. E (12): D: 26, F: 20
5. F (20)
6. D (26)

раунд 3

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms