Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

У відсортованому масиві ви шукаєте два елементи із заданою сумою, рухаючи по одному вказівнику з кожного кінця всередину. Яка часова складність?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі, які можна розв'язати паралельно
  2. BЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
  3. CЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  4. DЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структури данихСкладна

Потрібно зберігати k найменших значень із потоку n чисел, використовуючи O(k) пам'яті. Який підхід працює за час O(n log k)?

  1. AМін-купа, що містить усі n значень, з якої наприкінці вилучають k найменших
  2. BМакс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
  3. CВідсортований масив усіх n значень
  4. DЧерга FIFO з останніх k значень
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
7251313133121ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

Якщо сума замала, лівий вказівник рухається праворуч, якщо завелика — правий рухається ліворуч, тож кроків щонайбільше n.

Відповідь

B · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

D · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

A · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: B · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення

Чому це відповідь

Корінь макс-купи — найбільше збережене значення; будь-яке менше нове значення замінює його за O(log k), тож купа завжди містить k найменших значень на цей момент.

Відповідь

B · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
5.Теорія графів

Відповідь: L = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 25 = 2(L + 8) − 2
L = 11

Відповідь

L = 11

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 37

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 7, C: 2
C (2): E: 15, G: 14
B (7): G: 10
G (10): E: 11
E (11): D: 24
D (24): F: 37
F (37)

Найкоротший шлях

A → B → G → E → D → F
d(F) = 37

Відповідь

d(F) = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms