Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
  2. BМінімальне кістякове дерево
  3. CТопологічний порядок у будь-якому графі
  4. DНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складністьСкладна

Узявши обидва кінці кожного ребра максимального (за включенням) паросполучення, отримують вершинне покриття. Наскільки воно добре?

  1. AЗавжди мінімальне вершинне покриття
  2. BЩонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
  3. CНевідомої якості порівняно з оптимумом
  4. DЩонайбільше в log n разів більше за мінімум
3.Структури данихСередня

Ви маєте посилання на вузол у середині списку. У якому списку його можна видалити за O(1)?

  1. AУ динамічному масиві
  2. BУ відсортованому масиві
  3. CВ однозв'язному списку
  4. DУ двозв'язному списку
4.Структури данихСкладна

Який очікуваний час пошуку за простого рівномірного гешування в геш-таблиці з ланцюжками, n ключами та m кошиками?

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(1 + α), де α = n / m
  4. DO(log n)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
31571141018ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3; пропущені ребра не враховуються.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

D · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття

Чому це відповідь

Ребра паросполучення не мають спільних вершин, тож оптимуму потрібна щонайменше одна вершина на ребро, а цей метод бере дві: це 2-наближення.

Відповідь

B · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури даних

Відповідь: D · У двозв'язному списку

Чому це відповідь

Вузол двозв'язного списку знає свого попередника, тож можна безпосередньо перев'язати prev і next; в однозв'язному списку попередника доводиться шукати.

Відповідь

D · У двозв'язному списку
4.Структури даних

Відповідь: C · O(1 + α), де α = n / m

Чому це відповідь

Обчислення гешу коштує O(1), а очікувана довжина ланцюжка — α, тож обмеження α через зміну розміру таблиці дає очікуваний час O(1).

Відповідь

C · O(1 + α), де α = n / m
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Непарні вершини

D, F → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BD (1)
2. AB (3)
3. BC (7)
4. DE (10)

номер ребра 3

BC

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms