Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як алгоритм Беллмана–Форда виявляє цикл від'ємної ваги, досяжний із джерела?

  1. AВін підраховує цикли пошуком у глибину
  2. BПісля V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
  3. CВін двічі запускає алгоритм Дейкстри й порівнює два результати відстаней
  4. DВін перевіряє, чи має якесь ребро від'ємну вагу
3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B10
  3. C24
  4. D14
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AМін-купа, перебудована для кожного вікна
  2. BДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
  3. CОднозв'язний список елементів вікна
  4. DВідсортований масив, що оновлюється зсувом
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
1711136165491912ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини B. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 6.

початок: Bk = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GD
  10. 10ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(2ⁿ)

Чому це відповідь

Кількість викликів подвоюється на кожному рівні, а рівнів n, тож загалом виходить близько 2ⁿ, як у задачі про Ханойські вежі.

Відповідь

C · O(2ⁿ)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро

Чому це відповідь

Усі справжні найкоротші відстані знаходяться за V − 1 раундів; якщо якесь ребро ще можна поліпшити, від'ємний цикл має існувати.

Відповідь

B · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
3.Структури даних

Відповідь: D · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

D · 14
4.Структури даних

Відповідь: B · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

B · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: L = 25

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 49 = 2(L + 13) − 2
L = 25

Відповідь

L = 25

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро AC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. BD (6)
2. DF (5)
3. EF (4)
4. GE (12)
5. GC (9)
6. AC (11)

номер ребра 6

AC

Відповідь

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms