Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
  2. BСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
  3. CСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  4. DРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який алгоритм знаходить мінімальне кістякове дерево, багаторазово додаючи найдешевше ребро, яке не утворює циклу?

  1. AАлгоритм Краскала
  2. BАлгоритм Прима, що починає з однієї вершини
  3. CАлгоритм Флойда–Воршелла
  4. DАлгоритм Дейкстри
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AЗберігати кількість елементів
  2. BНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
  3. CСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
  4. DЗробити список відсортованим
4.Структури данихСкладна

Часова складність операції decrease-key у бінарній купі (за відомої позиції елемента) становить:

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
125131592714ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

A · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Алгоритм Краскала

Чому це відповідь

Алгоритм Краскала сортує ребра за вагою й додає їх, якщо вони з'єднують різні компоненти; алгоритм Прима нарощує одне дерево від початкової вершини.

Відповідь

A · Алгоритм Краскала
3.Структури даних

Відповідь: C · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

C · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: A · O(log n)

Чому це відповідь

Після зменшення ключа елемент піднімається щонайбільше на висоту купи. Купи Фібоначчі досягають амортизованого decrease-key за O(1).

Відповідь

A · O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

D, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): C: 12
2. C (12): B: 17, E: 27
3. B (17): D: 30
4. E (27): F: 34
5. D (30): F: 32
6. F (32)

раунд 4

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms