Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

  1. AВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
  2. BВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
  3. CВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів
  4. DВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  2. BДля обох варіантів
  3. CДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
  4. DДля жодного варіанта
3.Структури данихСередня

Застосунку потрібен швидкий пошук, а також виведення ключів у відсортованому порядку та відповіді на запити діапазону. Яка структура підходить найкраще?

  1. AСтек
  2. BНевідсортований зв'язний список
  3. CЗбалансоване бінарне дерево пошуку
  4. DГеш-таблиця
4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

  1. AВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
  2. BВоно зберігає лише першу літеру кожного слова
  3. CВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
  4. DВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1920141612911157ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

B · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

C · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: C · Збалансоване бінарне дерево пошуку

Чому це відповідь

Збалансоване BST дає пошук за O(log n) і зберігає ключі впорядкованими, тож симетричний обхід і запити діапазону прості; геш-таблиця розкидає ключі.

Відповідь

C · Збалансоване бінарне дерево пошуку
4.Структури даних

Відповідь: D · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

D · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Непарні вершини

C, D → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 75

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GE (7): взяти
DF (9): взяти
EF (11): взяти
DE (12): пропустити, замикає цикл
BC (14): взяти
GB (15): взяти
BD (16): пропустити, замикає цикл
AB (19): взяти

Загальна вага

W = 7 + 9 + 11 + 14 + 15 + 19 = 75

Відповідь

W = 75

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms