Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Динамічне програмування корисне, коли задача має:

  1. AОдин цикл
  2. BПерекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
  3. CЛише випадкові вхідні дані
  4. DЖодних підзадач, тож її можна розв'язати за один крок
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(n log n) на інкремент
  2. BO(n) на інкремент
  3. CO(log n) на інкремент
  4. DO(1) на інкремент
3.Структури данихСередня

Який максимально можливий коефіцієнт заповнення геш-таблиці з відкритою адресацією?

  1. A0,5
  2. BМаксимуму немає
  3. C1
  4. D2
4.Структури данихСкладна

Чому сервер може обирати свою геш-функцію випадково з універсального сімейства?

  1. AЩоб зробити геш-таблицю відсортованою
  2. BЩоб гарантувати, що жодні два ключі ніколи не матимуть колізії, які б ключі не надсилав зловмисник
  3. CЩоб усунути потребу змінювати розмір таблиці
  4. DЩоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1251914181726ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру

Чому це відповідь

Збереження результатів перекривних підзадач (мемоізація або табуляція) дає змогу уникнути повторної роботи й перетворює експоненційні алгоритми на поліноміальні.

Відповідь

B · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

D · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: C · 1

Чому це відповідь

За відкритої адресації всі ключі зберігаються в самій таблиці, тож n не може перевищити m; у методі ланцюжків коефіцієнт заповнення може бути більшим за 1.

Відповідь

C · 1
4.Структури даних

Відповідь: D · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

Чому це відповідь

За універсального гешування очікувана кількість колізій мала для будь-якої множини ключів, бо зловмисник не знає, яку функцію обрано.

Відповідь

D · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Непарні вершини

C, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 42

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

EF (2): взяти
BC (5): взяти
BE (6): взяти
AC (12): взяти
CE (14): пропустити, замикає цикл
DF (17): взяти

Загальна вага

W = 2 + 5 + 6 + 12 + 17 = 42

Відповідь

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms