Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Скільки пам'яті стека використовує проста рекурсивна функція факторіала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка з цих задач виконуваності, як відомо, розв'язна за поліноміальний час?

  1. AВиконуваність схем
  2. BЗагальна SAT для формул у кон'юнктивній нормальній формі
  3. C3-SAT, де кожен диз'юнкт має рівно три літерали
  4. D2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті використовує список суміжності для графа з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(E²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.Структури данихСкладна

Яке твердження про пірамідальне сортування (heapsort) правильне?

  1. AВоно стабільне й потребує O(n) додаткової пам'яті
  2. BВоно працює за час O(n) на будь-яких вхідних даних
  3. CВоно потребує бінарного дерева пошуку як додаткового сховища, тож використовує O(n) додаткової пам'яті
  4. DВоно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
1313136213415ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Рекурсія має глибину n викликів до першого повернення, і кожному виклику потрібен кадр стека, тож вона використовує O(n) пам'яті.

Відповідь

C · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали

Чому це відповідь

2-SAT належить до P (лінійний час через компоненти сильної зв'язності), тоді як 3-SAT є NP-повною.

Відповідь

D · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури даних

Відповідь: B · O(V + E)

Чому це відповідь

Кожна вершина має список, а кожне ребро трапляється один раз (орієнтований граф) або двічі (неорієнтований), що дає O(V + E).

Відповідь

B · O(V + E)
4.Структури даних

Відповідь: D · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним

Чому це відповідь

Heapsort будує макс-купу й n разів видобуває максимум у тому самому масиві; обміни на великі відстані можуть змінювати порядок однакових ключів.

Відповідь

D · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
5.Теорія графів

Відповідь: L = 16

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

Відповідь

L = 16

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 23

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 13, C: 13
B (13): E: 28
C (13): E: 19
E (19): D: 21, F: 23
D (21)
F (23)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 23

Відповідь

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms