Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність обчислення n-го числа Фібоначчі за допомогою таблиці знизу вгору?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує пошук у глибину (DFS, ітеративна версія)?

  1. AЧерга
  2. BКупа
  3. CСтек
  4. DЛише геш-таблиця
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб обрати початкову вершину
  2. BЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
  3. CЩоб відсортувати ребра за вагою
  4. DЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K4? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K4
H =
6.Теорія графівСкладна
649379107ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

Заповнення таблиці від 0 до n потребує одного додавання на запис, тож робота лінійна, а не експоненційна.

Відповідь

B · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(n log² n)

Чому це відповідь

Рівень k виконує близько n log(n / 2ᵏ) роботи, а підсумовування за log n рівнями дає Θ(n log² n) — розширений другий випадок основної теореми.

Відповідь

A · Θ(n log² n)
3.Структури даних

Відповідь: C · Стек

Чому це відповідь

DFS заглиблюється якомога далі, природно використовуючи стек (або стек викликів рекурсії); BFS використовує чергу.

Відповідь

C · Стек
4.Структури даних

Відповідь: B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: H = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Відповідь

H = 3
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 21

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6, C: 4
C (4): E: 11
B (6): D: 9
D (9)
E (11): F: 21
F (21)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 21

Відповідь

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms