Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке твердження про рекурсивну функцію без досяжного базового випадку правильне?

  1. AВона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
  2. BКомпілятор завжди перетворює її на цикл, що безпечно завершується
  3. CВона виконується за час O(1)
  4. DВона автоматично повертає 0
2.Алгоритми та складністьСкладна

Сортування вставками працює за O(n) на відсортованих даних. Чи суперечить це нижній межі Ω(n log n) для сортування порівняннями?

  1. AТак, отже, нижня межа хибна
  2. BНі, бо сортування вставками не є сортуванням порівняннями
  3. CТак, але лише для масивів, коротших за 100
  4. DНі, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(log V)
4.Структури данихСкладна

Фільтр Блума може відповісти на запитання «чи належить цей елемент множині?»:

  1. AЗ можливими хибнонегативними, але без хибнопозитивних результатів
  2. BЛише для чисел
  3. CЗавжди точно
  4. DЗ можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 3
L =
6.Теорія графівСкладна
1312151051332212ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів

Чому це відповідь

Без базового випадку рекурсія ніколи не зупиняється; на практиці пам'ять для кадрів стека вичерпується, і програма аварійно завершується.

Відповідь

A · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних

Чому це відповідь

Межа стверджує, що кожне сортування порівняннями потребує близько n log n порівнянь на якихось вхідних даних розміру n; особливі вхідні дані можуть оброблятися значно швидше.

Відповідь

D · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури даних

Відповідь: C · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

C · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: D · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів

Чому це відповідь

Якщо будь-який біт для елемента дорівнює 0, елемента точно немає; якщо всі дорівнюють 1, він, імовірно, є. Фільтри Блума жертвують точністю заради дуже малого обсягу пам'яті.

Відповідь

D · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Відповідь

L = 6

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 13, C: 12
2. C (12): E: 22, G: 14
3. B (13): D: 28
4. G (14): D: 16
5. D (16): E: 21, F: 29
6. E (21)
7. F (29)

раунд 5

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms