Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

AТопологічний порядок у будь-якому графі
BНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
CМінімальне кістякове дерево
DНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

AΘ(n)
BΘ(n²)
CΘ(log n)
DΘ(n log n)

3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

4.Структури данихСкладна

Яка основна перевага списку з пропусками (skip list) над відсортованим зв'язним списком?

AВін зберігає ключі без упорядкування
BВін не використовує додаткової пам'яті
CГарантований пошук за O(1), бо кожен вузол зберігає вказівник на кожен інший вузол
DОчікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед

5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 13 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 13|E| = 19

k =

6.Теорія графівСкладна

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F

d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

D · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

D · Θ(n log n)

3.Структури даних

Відповідь: C · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

C · 14

4.Структури даних

Відповідь: D · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед

Чому це відповідь

Випадкові рівні дозволяють пошуку пропускати багато вузлів, що дає очікувану складність O(log n) для пошуку, вставлення та видалення.

Відповідь

D · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед

5.Теорія графів

Відповідь: k = 7

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

13 − 1 = 12

Ребра для вилучення

k = 19 − 12 = 7

Відповідь

k = 7

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 20

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 8, C: 2

C (2)

B (8): D: 13, E: 15

D (13): F: 21

E (15): F: 20

F (20)

Найкоротший шлях

A → B → E → F

d(F) = 20

Відповідь

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms