Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  2. BЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  3. CЛогарифми завжди округлюють до цілих
  4. DОснова має значення лише для малих n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка різниця між нерозв'язною задачею та практично нерозв'язною?

  1. AОбидва терміни означають, що задача взагалі не має алгоритму
  2. BПрактично нерозв'язні задачі не може розв'язати жоден алгоритм, а нерозв'язні лише потребують експоненційного часу
  3. CНерозв'язні задачі належать до NP, а практично нерозв'язні — до P
  4. DДля нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AЗберігати кількість елементів
  2. BСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
  3. CЗробити список відсортованим
  4. DНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
4.Структури данихСкладна

Чому сервер може обирати свою геш-функцію випадково з універсального сімейства?

  1. AЩоб усунути потребу змінювати розмір таблиці
  2. BЩоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
  3. CЩоб гарантувати, що жодні два ключі ніколи не матимуть колізії, які б ключі не надсилав зловмисник
  4. DЩоб зробити геш-таблицю відсортованою
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
14121312427715ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний

Чому це відповідь

Проблема зупинки взагалі не має алгоритму; NP-складну задачу, як-от TSP, можна розв'язати повним перебором, просто не за відомий поліноміальний час.

Відповідь

D · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
3.Структури даних

Відповідь: B · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

B · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: B · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

Чому це відповідь

За універсального гешування очікувана кількість колізій мала для будь-якої множини ключів, бо зловмисник не знає, яку функцію обрано.

Відповідь

B · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
5.Теорія графів

Відповідь: L = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Відповідь

L = 10

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 35

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 12
C (12): G: 19
B (14): D: 27, G: 16
G (16): D: 23, E: 31
D (23): F: 35
E (31)
F (35)

Найкоротший шлях

A → B → G → D → F
d(F) = 35

Відповідь

d(F) = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms