Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

У відсортованому масиві ви шукаєте два елементи із заданою сумою, рухаючи по одному вказівнику з кожного кінця всередину. Яка часова складність?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм Штрассена множить матриці, використовуючи 7 замість 8 рекурсивних множень блоків половинного розміру. Який його час виконання?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(nlog₂ 7), близько n2,81
  4. DΘ(n² log n)
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AЗберігання ключів у порядку вставлення
  2. BЩо жоден вузол не має двох дітей
  3. CПошук за сталий час у будь-якому випадку
  4. DВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури данихСкладна

У BST з коренем 50, лівим піддеревом 30 (діти 20, 40) і правим піддеревом 70 (діти 60, 80) корінь видаляють за допомогою наступника в симетричному порядку. Який ключ стає новим коренем?

  1. A80
  2. B40
  3. C60
  4. D70
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K8? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K8
H =
6.Теорія графівСкладна
9131719125410ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3; пропущені ребра не враховуються.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро BC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Якщо сума замала, лівий вказівник рухається праворуч, якщо завелика — правий рухається ліворуч, тож кроків щонайбільше n.

Відповідь

C · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81

Чому це відповідь

За a = 7 і b = 2 nlog₂ 7 домінує над роботою додавання O(n²), що дає близько n2,81.

Відповідь

C · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81
3.Структури даних

Відповідь: D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: C · 60

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол правого піддерева — 60, тож 60 замінює 50, а його попередня позиція видаляється; використання попередника дало б 40.

Відповідь

C · 60
5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520
6.Теорія графів

Відповідь: ребро AB

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. EF (4)
2. DF (5)
3. AB (9)
4. BE (10)
5. BC (13)

номер ребра 3

AB

Відповідь

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms