Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  2. BЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  3. CОснова має значення лише для малих n
  4. DЛогарифми завжди округлюють до цілих
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому пошук у геш-таблиці в середньому має складність O(1), а в найгіршому випадку — O(n)?

  1. AГеш-функції повільні
  2. BКлючі спершу потрібно відсортувати
  3. CБагато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
  4. DДоступ до масивів має складність O(n)
3.Структури данихСередня

Яка часова складність пошуку ключа в збалансованому бінарному дереві пошуку?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Структури данихСкладна

Структура union-find (система неперетинних множин) з об'єднанням за рангом і стисненням шляху має амортизовану вартість операції:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CРівно O(log n)
  4. DO(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
8104121244416ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик

Чому це відповідь

За доброї геш-функції та відповідного коефіцієнта заповнення кошики в середньому залишаються короткими; зловмисно підібрані дані або погане гешування можуть помістити всі ключі в один кошик.

Відповідь

C · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури даних

Відповідь: D · O(log n)

Чому це відповідь

Збалансоване дерево має висоту близько log₂ n, тому пошук проходить одним шляхом від кореня до листка.

Відповідь

D · O(log n)
4.Структури даних

Відповідь: D · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала

Чому це відповідь

З обома оптимізаціями операції виконуються за амортизований час O(α(n)); α(n) ≤ 4 для будь-якого реалістичного n.

Відповідь

D · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 8, C: 10
2. B (8): D: 20
3. C (10): G: 14
4. G (14): D: 15, E: 20
5. D (15): F: 19
6. F (19)
7. E (20)

раунд 5

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms