Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який час виконання порозрядного сортування LSD для n цілих чисел із d цифрами в системі числення з основою k?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(dn log k)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(n) на інкремент
  2. BO(log n) на інкремент
  3. CO(1) на інкремент
  4. DO(n log n) на інкремент
3.Структури данихСередня

Як вставляють новий елемент у бінарну купу?

  1. AРозміщують його в корені й просіюють униз
  2. BВставляють його на відсортовану позицію, зсуваючи всі більші елементи на одне місце праворуч
  3. CРозміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
  4. DПеребудовують усю купу з нуля
4.Структури данихСкладна

Яку проблему лінійного зондування переважно зменшує подвійне гешування?

  1. AПотребу зберігати ключі в таблиці
  2. BВартість O(n) читання значення ключа
  3. CПервинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
  4. DПотребу в геш-функції
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
8214193141116ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини F. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 5.

початок: Fk = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро DE
  4. 4ребро DF
  5. 5ребро EF
  6. 6ребро GB
  7. 7ребро GC
  8. 8ребро GD
  9. 9ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(d(n + k))

Чому це відповідь

Кожен із d проходів — сортування підрахунком вартістю O(n + k), тож для фіксованих d і k загальна складність лінійна за n.

Відповідь

C · O(d(n + k))
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

C · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: C · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи

Чому це відповідь

Додавання в кінець зберігає повноту дерева; обміни з батьком відновлюють порядок за O(log n) кроків.

Відповідь

C · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури даних

Відповідь: C · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок

Чому це відповідь

Лінійне зондування крокує на 1, тож серії зайнятих комірок зростають і зливаються; подвійне гешування використовує другий геш для розміру кроку, тож різні ключі перевіряють різні послідовності.

Відповідь

C · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: ребро AB

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. DF (4)
2. DE (1)
3. GD (11)
4. GB (3)
5. AB (8)
6. AC (2)

номер ребра 5

AB

Відповідь

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms