Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AТопологічний порядок у будь-якому графі
  2. BМінімальне кістякове дерево
  3. CНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
  4. DНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
2.Алгоритми та складністьСкладна

Топологічне сортування можливе лише для:

  1. AГрафів із від'ємними вагами
  2. BОрієнтованих ациклічних графів
  3. CНеорієнтованих графів
  4. DПовних графів
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 3 4 5
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  2. BВидаляють усе піддерево
  3. CМіняють його місцями з коренем
  4. DПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
6313281238ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Орієнтованих ациклічних графів

Чому це відповідь

Топологічний порядок існує тоді й лише тоді, коли орієнтований граф не має циклів; його можна знайти за O(V + E) за допомогою DFS або алгоритму Кана.

Відповідь

B · Орієнтованих ациклічних графів
3.Структури даних

Відповідь: A · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

A · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: A · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

A · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: L = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Відповідь

L = 11

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 8

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6, C: 3
C (3): E: 5
E (5): D: 13, F: 8
B (6)
F (8)
D (13)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 8

Відповідь

d(F) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms