Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Функція виконує один цикл із n ітерацій, а потім окремо ще один цикл із n ітерацій. Яка її часова складність?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм динамічного програмування Гелда–Карпа точно розв'язує задачу комівояжера. Який його час виконання для n міст?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n!)
  4. DO(n³)
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
  2. BЗберігати кількість елементів
  3. CСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
  4. DЗробити список відсортованим
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
  2. BМіняють його місцями з коренем
  3. CЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  4. DВидаляють усе піддерево
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від D до C? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

n + n = 2n, а сталі множники відкидаються, тож функція є O(n).

Відповідь

C · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n² 2ⁿ)

Чому це відповідь

Станів близько n 2ⁿ, і кожен обчислюється за O(n); це експоненційно, але значно швидше, ніж перебирати всі (n − 1)! маршрутів.

Відповідь

B · O(n² 2ⁿ)
3.Структури даних

Відповідь: C · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

C · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: C · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

C · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)DC = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms