Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
  2. BСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  3. CСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
  4. DРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому пошук у геш-таблиці в середньому має складність O(1), а в найгіршому випадку — O(n)?

  1. AКлючі спершу потрібно відсортувати
  2. BДоступ до масивів має складність O(n)
  3. CГеш-функції повільні
  4. DБагато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує виконувана програма, щоб відстежувати активні виклики функцій та їхні локальні змінні?

  1. AСтек викликів
  2. BБінарне дерево пошуку фреймів
  3. CГеш-таблицю функцій
  4. DЧергу пам'яті купи
4.Структури данихСкладна

Для кожного елемента масиву потрібно знайти наступний більший елемент праворуч від нього за загальний час O(n). Яка структура допоможе?

  1. AГеш-таблиця всіх елементів
  2. BЧерга, що містить кожну пару елементів
  3. CБінарне дерево пошуку, перебудоване для кожного елемента
  4. DСтек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 6 вершин і 17 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 6|E| = 17
k =
6.Теорія графівСкладна
119121292311815ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

C · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик

Чому це відповідь

За доброї геш-функції та відповідного коефіцієнта заповнення кошики в середньому залишаються короткими; зловмисно підібрані дані або погане гешування можуть помістити всі ключі в один кошик.

Відповідь

D · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури даних

Відповідь: A · Стек викликів

Чому це відповідь

Кожен виклик заносить у стек фрейм, а кожне повернення виймає його, тому найновіший виклик завершується першим.

Відповідь

A · Стек викликів
4.Структури даних

Відповідь: D · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь

Чому це відповідь

Скануючи зліва направо, вийміть зі стека кожен елемент, менший за поточний (поточний елемент — їхня відповідь), а потім занесіть поточний; кожен елемент переміщується щонайбільше двічі.

Відповідь

D · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

6 − 1 = 5

Ребра для вилучення

k = 17 − 5 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 23

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 18
B (11): D: 23, G: 19
E (18): D: 20, F: 29
G (19)
D (20): F: 23
F (23)

Найкоротший шлях

A → C → E → D → F
d(F) = 23

Відповідь

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms