Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що обчислює алгоритм Флойда–Воршелла і як швидко?

  1. AНайкоротші шляхи від однієї початкової вершини до всіх інших за O(V + E)
  2. BМінімальне кістякове дерево за O(E log V)
  3. CНайкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
  4. DТопологічний порядок за O(V²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка різниця між нерозв'язною задачею та практично нерозв'язною?

  1. AОбидва терміни означають, що задача взагалі не має алгоритму
  2. BПрактично нерозв'язні задачі не може розв'язати жоден алгоритм, а нерозв'язні лише потребують експоненційного часу
  3. CДля нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
  4. DНерозв'язні задачі належать до NP, а практично нерозв'язні — до P
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті використовує список суміжності для графа з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.Структури данихСкладна

Потрібно зберігати k найменших значень із потоку n чисел, використовуючи O(k) пам'яті. Який підхід працює за час O(n log k)?

  1. AМакс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
  2. BЧерга FIFO з останніх k значень
  3. CВідсортований масив усіх n значень
  4. DМін-купа, що містить усі n значень, з якої наприкінці вилучають k найменших
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 32 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
1511045137141011ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 6; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)

Чому це відповідь

Флойд–Воршелл — алгоритм динамічного програмування, що по черзі дозволяє кожну вершину як проміжну, витрачаючи O(V³) часу.

Відповідь

C · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний

Чому це відповідь

Проблема зупинки взагалі не має алгоритму; NP-складну задачу, як-от TSP, можна розв'язати повним перебором, просто не за відомий поліноміальний час.

Відповідь

C · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
3.Структури даних

Відповідь: A · O(V + E)

Чому це відповідь

Кожна вершина має список, а кожне ребро трапляється один раз (орієнтований граф) або двічі (неорієнтований), що дає O(V + E).

Відповідь

A · O(V + E)
4.Структури даних

Відповідь: A · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення

Чому це відповідь

Корінь макс-купи — найбільше збережене значення; будь-яке менше нове значення замінює його за O(log k), тож купа завжди містить k найменших значень на цей момент.

Відповідь

A · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
5.Теорія графів

Відповідь: L = 20

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 40 = 2(L + 11) − 2
L = 20

Відповідь

L = 20

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 15, C: 1
2. C (1): B: 11, G: 15
3. B (11)
4. G (15): D: 25, E: 26
5. D (25): F: 30
6. E (26)
7. F (30)

раунд 6

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms