Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як алгоритм Беллмана–Форда виявляє цикл від'ємної ваги, досяжний із джерела?

  1. AВін двічі запускає алгоритм Дейкстри й порівнює два результати відстаней
  2. BПісля V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
  3. CВін підраховує цикли пошуком у глибину
  4. DВін перевіряє, чи має якесь ребро від'ємну вагу
3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

  1. A1
  2. Bn (дерево перетворюється на зв'язний список)
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AОднозв'язний список елементів вікна
  2. BВідсортований масив, що оновлюється зсувом
  3. CДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
  4. DМін-купа, перебудована для кожного вікна
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
922141515158111ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

За основною теоремою (master theorem) nlog₂ 2 = n домінує над сталою роботою, тож T(n) = Θ(n), як під час пошуку максимуму діленням навпіл.

Відповідь

B · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро

Чому це відповідь

Усі справжні найкоротші відстані знаходяться за V − 1 раундів; якщо якесь ребро ще можна поліпшити, від'ємний цикл має існувати.

Відповідь

B · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
3.Структури даних

Відповідь: B · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

B · n (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури даних

Відповідь: C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

A, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 26

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 9
B (9): C: 11, D: 11
C (11): E: 25, G: 19
D (11): F: 26
G (19): E: 20
E (20)
F (26)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 26

Відповідь

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms