Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  2. BСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
  3. CРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
  4. DСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.Структури данихСередня

Префіксне дерево (trie) особливо ефективне для:

  1. AСортування чисел
  2. BПошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
  3. CПошуку найкоротших шляхів
  4. DЗберігання матриць
4.Структури данихСкладна

Що робить розширюване дерево (splay tree) після кожного звертання?

  1. AПоворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
  2. BПеребудовує все дерево у збалансовану форму
  3. CПереміщує вузол, до якого звернулися, у листок
  4. DПерефарбовує вузли на шляху пошуку
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
111127101211713ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(n log² n)

Чому це відповідь

Рівень k виконує близько n log(n / 2ᵏ) роботи, а підсумовування за log n рівнями дає Θ(n log² n) — розширений другий випадок основної теореми.

Відповідь

A · Θ(n log² n)
3.Структури даних

Відповідь: B · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення

Чому це відповідь

Trie зберігає рядки посимвольно вздовж шляхів, тому пошук і запити за префіксом займають час, пропорційний довжині ключа.

Відповідь

B · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
4.Структури даних

Відповідь: A · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь

Чому це відповідь

Splay-операція переміщує вузол, до якого звернулися, у корінь за допомогою поворотів; одна операція може коштувати O(n), але амортизована вартість — O(log n).

Відповідь

A · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Непарні вершини

A, B, D, G → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 19

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 1, C: 11
B (1): D: 8, E: 14
D (8): F: 19
C (11)
E (14)
F (19)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 19

Відповідь

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms