Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність обчислення n-го числа Фібоначчі за допомогою таблиці знизу вгору?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які часові та просторові витрати обчислення n-го числа Фібоначчі циклом, що зберігає лише два останні значення?

  1. AO(n) часу та O(1) пам'яті
  2. BO(log n) часу та O(n) пам'яті
  3. CO(n) часу та O(n) пам'яті
  4. DO(2ⁿ) часу та O(1) пам'яті
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  2. BПошук за сталий час у будь-якому випадку
  3. CЩо жоден вузол не має двох дітей
  4. DЗберігання ключів у порядку вставлення
4.Структури данихСкладна

Яка основна перевага списку з пропусками (skip list) над відсортованим зв'язним списком?

  1. AГарантований пошук за O(1), бо кожен вузол зберігає вказівник на кожен інший вузол
  2. BВін зберігає ключі без упорядкування
  3. CВін не використовує додаткової пам'яті
  4. DОчікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 14 вершин і 20 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 14|E| = 20
k =
6.Теорія графівСкладна
1931486122ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Заповнення таблиці від 0 до n потребує одного додавання на запис, тож робота лінійна, а не експоненційна.

Відповідь

D · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n) часу та O(1) пам'яті

Чому це відповідь

Кожному крокові потрібні лише два попередні значення, тож таблицю методу «знизу вгору» можна замінити двома змінними.

Відповідь

A · O(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури даних

Відповідь: A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: D · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед

Чому це відповідь

Випадкові рівні дозволяють пошуку пропускати багато вузлів, що дає очікувану складність O(log n) для пошуку, вставлення та видалення.

Відповідь

D · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед
5.Теорія графів

Відповідь: k = 7

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

14 − 1 = 13

Ребра для вилучення

k = 20 − 13 = 7

Відповідь

k = 7
6.Теорія графів

Відповідь: ребро AC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BE (2)
2. AC (3)
3. CE (6)
4. BD (8)

номер ребра 2

AC

Відповідь

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms